SKループ：最難関ナンプレを崩す悪魔的テクニック

この記事は、Andrew Stuart氏によるSudokuWiki.orgの解説をもとに翻訳・構成したものです。

SKループは、数独の解法の中でも「悪魔的（Diabolical）」戦略に分類されるテクニックです。「極限（Extreme）」戦略に分類されないのは、パターンとして非常に際立っていて見つけやすい部類だから。とはいえ、この技法はもともとイースターモンスターという超難問を解く過程で発見（発明？）されたもので、候補数字が密集した盤面——つまり最難関クラスのパズルでこそ真価を発揮します。

元記事のクレジットも紹介しておきます。オーストラリア・シドニーのpjbことPhil氏によるフォーラムでの解説と、彼のウェブサイトに集められた多数の実例がもとになっています。同サイトのソルバーはPhil氏の分類でいうバニラタイプからタイプHまでの全SKループを検出しますが、「関連ループ（related loops）」には未対応です。SudokuWikiの実装ではタイプを区別せず、検出を一般化しています。SKループはより大きな構造の一部分ではないか、という見方も示されていますが、その探求はまだこれからの領域だとされています。

イースターモンスターで見る基本形

Phil氏に倣って、まずはイースターモンスターから始めます。パターンが盤面全体にきれいに広がり、対称的だからです。SKループは双方向の連続ループで、どのセルからでも開始でき、どちらの方向にもリンクをたどれます。

最初に探すのは、4つのボックスに散らばった4つの「与えられた（または解けた）セル」が長方形を形成している配置です。Phil氏はヒント（given）と解けたセル（solved）を区別しますが、SudokuWikiの実装では区別しておらず、それによる誤検出は報告されていないとのことです。

図に示したのが、その4つの数字と、それらを取り囲む8つの2セルペア（隠れペアを含む）です。

パターンの定義

• ループは2つのバンドと2つのスタックにまたがる4つのボックスと8つのリンクで構成される。各ボックスに1つ、各行に1つ、各列に1つのリンクがある
• 各ボックスで、行側セルと列側セルの交点にあたるセルは「与えられた数字」である
• リンクは単一・二重・三重を含んでよいが、リンクの合計は16以下でなければならない
• ボックス内の行または列に関与する2セルのうち、1つは解けたセルでもよいが、与えられたセルであってはならない

8つのセルペアがあるので、これらを埋めるには16個の数字が必要です。同サイトのソルバーは候補を緑と青でハイライトします。これは2つの代替解を表していて、16セルすべてに緑か青のいずれかの数字が入り、各ペアにはちょうど緑1つと青1つが入ります。言葉にすると曖昧に聞こえますが、上の最初の例がまさにこのケースにあたります。

ループの正式な表記

「リンクの合計が16以下」で何を数えているのかを見るために、ループの正式な定義を書き下します。

(27=38)B13- (38=16)B79- (16=39)AC8- (39=27)GJ8- (27=45)H79- (45=16)H13- (16=48)GJ2- (48=27)AC2-

同サイトのソルバーは常に左上の与えられたセルから開始して時計回りにループするので、ペアB13から始まります（Phil氏の文書では開始位置が異なります）。B13は隠れペア{3,8}でB79と強くリンクしています。すべてのリンクについて各ペアの候補数を数えると、

SKループタイプ 2-2-2-2-2-2-2-2-

となり、合計はちょうど16です。

候補の除去

16セルの内容がロックセット（locked set）として確定したので、整列している単位（行・列・ボックス）に沿って候補を除去できます。たとえばB13が青の{3,8}を含み、B79が緑の{3,8}を含み、解は必ずどちらか一方なので、同じ行のB5とB6から3と8を除去できるわけです。

変則パターン：3-1型ループ

このSKループは、全体が二重リンクのクラシックな形ではなく、トリプルリンクとシングルリンクを交互に使います。タイプは3-1-3-1-3-1-3-1-になりますが、数字の合計は変わらず16です。

図のリンクをいくつかたどって、ループの定義と見比べてみてください。

(579=8)A23- (8=469)A78- (469=2)BC9- (2=457)GH9- (457=1)J78- (1=469)J23- (469=3)GH1- (3=579)BC1-

解けたセルを含むパターン

最後に、定義の4番目の要素——ペアの2セルのうち1つが「解けたセル」である場合です。Phil氏は「与えられたセルではあり得ない」と述べていますが、SudokuWiki側ではまだ反例が確認されておらず、同サイトのソルバーは両者を区別しません。

このループのタイプは2-2-1-2-2-2-1-2-で、合計は14にしかなりません。これは2つのセル（図のベージュ色）がすでに使われているためで、正しい状態です。

(34=69)B13- (69=1)B79- (1=68)AC8- (68=34)GJ8- (34=68)H79- (68=2)H13- (2=56)GJ2- (56=34)AC2-

さらに例を見たい方へ

Phil氏がヘルプページで優れた実例集を公開しているので、ここで重複して挙げることはしません。

SKループが必要になるのはごく一部の極難問だけですが、その手前のX-Wingなどの基本〜上級テクニックは激辛レベルの問題でも頻繁に活躍します。腕に覚えのある方はエキスパート問題から順に挑戦してみてください。行き詰まったときの検証には数独ソルバーも使えます。